1. Határozza meg az alábbi sorozatok 12. tagját és az első 8 tag összegét!

  1. $a_1=5 \;\;\;\; a_2=10 \;\; \;\; a_3=20$
  2. $a_1=2 \;\;\;\; a_2=-2 \;\;\;\; a_3=2$
  3. $a_1=4 \;\;\;\; a_2=2 \;\;\;\;\;\;\; a_3=1$
  4. $a_1=-6 \; a_2=-4 \;\;\;\; a_3=-2$
  5. $a_1=3 \;\;\;\; a_2=4 \;\;\;\;\;\;\; a_3=5$

2) Deriválja a következő függvényeket:

  1. $f(x)=6x^4+x^3+56x$
  2. $g(x)=\frac{x-2x^2}{6x^3}$
  3. $h(x)=\sqrt{x}$
  4. $i(x)=sin(x)$
  5. $j(x)=56$
  6. $k(x)=(4+x^2)(x+6)^4$
  7. $l(x)=x$

3) Határozza meg a fentebbi függvényekhez $x=6$ ponthban húzott érintő meredekségét!

4) Elemezze (értelmezési tartomány értékkészlet, zérushelyek, szélső értékek, inflexiós pontok) és ábrázolja a következő függvényeket nevezetes pontjaik segítségével:

  1. $f(x)=(x-1)(2-x)^2$
  2. $g(x)=4x^4-6x+4$
  3. $h(x)=6x$
  4. $f(x)=(5-x)(x-5)$
  5. $f(x)=(5-x)(x-5)^2$

5) Határozza meg az alábbi függvények alatti terület nagyságát -1 és 3 között:

  1. $f(x)=3x$
  2. $g(x)=-x^2-2$
  3. $h(x)=-x^3$
  4. $i(x)=x^2+1$
  5. $k(x)=2x^2-2x-1$

—

Megoldások:

Sorozatok:

  1. $q=2$, $a_12=10240$, $S_8=1275$
  2. $q=-1$, $a_12=-2$, $S_8=0$
  3. $q=0.5$, $a_12=0.001953125$, $S_8=7.96875$
  4. $d=2$, $a_12=16$, $S_8=8$
  5. $q=1$, $a_12=14$, $S_8=10$

Derivált:

  1. $f'(x)=24x^3+3x^2+56$

  2. $g'(x)=\frac{x-1}{3x^3}$
  3. $h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
  4. $i'(x)=cos(x)$
  5. $j'(x)=0$
  6. $k'(x)=6x^5+120x^4+880x^3+2880x^2+4320x+3456$
  7. $l'(x)=1$

Függvény-ábrázolás: http://fooplot.com/plot/p4g5x3qq74

Határozott integrál:

    1. $\int_{-1}^3 f(x) \, \mathrm{d}x = 12$

    2. $\int_{-1}^3 g(x) \, \mathrm{d}x = -\frac{52}{3}$
    3. $\int_{-1}^3 h(x) \, \mathrm{d}x = -20 $
    4. $\int_{-1}^3 i(x) \, \mathrm{d}x = \frac{40}{3}$
    5. $\int_{-1}^3 j(x) \, \mathrm{d}x \approx 10$